Экзаменационные вопросы по курсу ММФ

1. Постановка краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения.
2. Оператор Штурма-Лиувилля, его простейшие свойства. Задача Штурма-Лиувилля.
3. Симметричность оператора Штурма-Лиувилля и его ограниченность снизу.
4. Свойства собственных чисел и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля.
5. Примеры задач Штурма Лиувилля для оператора -y''.
6. Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом Фурье.
7. Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом сеток.
8. Решение системы сеточных уравнений для краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения.
9. Сходимость метода сеток для обыкновенного дифференциального уравнения.
10. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя и их свойства.
11. Краевая задача для оператора Бесселя.
12. Вывод уравнения теплопроводности.
13. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности.
14. Принципы максимума и теорема единственности для уравнения теплопроводности.
15. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности (УТП).
16. Одномерное УТП для бесконечного промежутка.
17. Метод сеток для УТП. Явная схема: построение и аппроксимация.
18. Устойчивость и сходимость явной схемы.
19. Неявная схема: построение, устойчивость и сходимость.
20. Уравнение колебания струны: вывод и постановка основных задач.
21. Метод Фурье для волнового уравнения.
22. Задача Коши для волнового уравнения.
23. Многомерное интегрирование по частям. Формулы Грина.
24. Гармонические функции. Основные свойства гармонических функций.
25. Уравнения Лапласа и Пуассона. Постановка краевых задач. Теоремы единственности.
26. Функция Грина.
27. Метод Фурье для уравнения Пуассона в прямоугольнике.
28. Корректные и некорректные задачи для уравнения Лапласа.
29. Метод Фурье для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона.
30. Спектр оператора Лапласа в прямоугольнике и круге.
31. Многочлены Лежандра.
32. Присоединенные функции Лежандра.
33. Сферические координаты и сферические функции.
34. Решение задачи Дирихле для шара.
35. Спектр оператора Лапласа в шаре.
36. Решение УТП в многомерном случае.
37. Метод сеток для уравнения Пуассона: общая схема метода и решение сеточных уравнений.
38. Устойчивость и сходимость разностной схемы для уравнения Пуассона.
39. Классификация уравнений второго порядка.
40. Задача о минимуме функционала.
41. Задача о минимуме функционала в многомерном случае.
42. Решение задачи о минимуме функционала методом Ритца.
43. Метод Галеркина.
44. Метод конечных элементов.